Cambrian Lattices

For an arbitrary finite Coxeter group W , we define the family of Cambrian lattices for W as quotients of the weak order on W with respect to certain lattice congruences. We associate to each Cambrian lattice a complete fan, which we conjecture is the normal fan of a polytope combinatorially isomorphic to the generalized associahedron for W . In types A and B, we obtain, by means of a fiber-polytope construction, combinatorial realizations of the Cambrian lattices in terms of triangulations and in terms of permutations. Using this combinatorial information, we prove that in types A and B the Cambrian fans are combinatorially isomorphic to the normal fans of the generalized associahedra, and that one of the Cambrian fans is linearly isomorphic to Fomin and Zelevinsky’s construction of the normal fan as a “cluster fan.” Our construction does not require a crystallographic Coxeter group and therefore suggests a definition, at least on the level of cellular spheres, of a generalized associahedron for any finite Coxeter group. The Tamari lattice is one of the Cambrian lattices of type A, and two “Tamari” lattices in type B are identified, and characterized in terms of signed pattern avoidance. We also show that intervals in Cambrian lattices are either contractible or homotopy equivalent to spheres. Résumé. Pour un groupe fini arbitraire de Coxeter W , nous définissons la famille des trellis cambriens pour W comme des quotients de l’ordre faible sur W par certaines congruences de trellis. Nous associons à chaque trellis cambrien un éventail complet et nous conjecturons que cet éventail est l’éventail normal d’un polytope isomorphe, au sens combinatoire, á un associèdre généralisé. Dans le cas des types A et B, nous obtenons, par une construction de fibre-polytope, des réalisations combinatoires des trellis cambriens en termes de triangulations et en termes de permutations. En utilisant cette information combinatoire, nous montrons que, dans le cas des types A et B, les éventails cambriens sont isomorphes, au sens combinatoire, aux éventails normaux des associaèdre généralisés, et qu’un des éventails cambriens est linéairement isomorphe à l’éventail normal construit par Fomin et Zelevinsky sous forme de l’éventail des amas. Notre construction n’exige pas que le groupe de Coxeter soit cristallographique et suggère une définition, du moins au niveau des sphères cellulaires, d’un associaèdre généralisé pour tout groupe fini de Coxeter. Le trellis de Tamari est un des trellis cambriens du type A, et deux “trellis de Tamari” dans le type B sont identifiés, et charactérisés en termes des permutations signées à motifs exclus. Nous prouvons également que les intervalles dans les trellis cambriens sont soit contractibles, soit équivalent aux sphéres, par homotopie.